Lección 4.5

Integrales de funciones escalares sobre superficies

 

En la lección 3.1 estudiamos la forma de generalizar el concepto de longitud de arco a través de lo que denominamos la integral a lo largo de una trayectoria, en esta lección generalizaremos el concepto de área sobre una superficie.

 

En la lección anterior calculamos el área de una superficie utilizando la fórmula:

 

 

Si ahora tenemos la función escalar f(x, y, z) = 1, entonces la fórmula anterior se puede presentar como:

 

 

que nos es más que la integral de la función escalar f(x, y, z) = 1 sobre la superficie S

 

Ahora bien, para cualquier función escalar f(x, y, z) tendremos la siguiente definición:

 

Definición: La integral de una función escalar sobre una superficie:

 

Si f(x, y, z) es una función continua con valores reales, definida sobre una superficie parametrizada S, definimos la integral de f sobre S como:

 

   ….   (1)

 

 

 

Al desarrollar la ecuación (1) tenemos que:

 

 

Las integrales de funciones escalares sobre superficies son útiles para calcular la masa de una superficie cuando se conoce la densidad de masa m.

 

Observe las superficies representadas en las Figuras 1 y 2. Asumamos que los colores sobre las superficies representan diferentes densidades (rojo = máxima densidad, verde = mínima densidad).

 

 

Figura 1

 

 

Figura 2

 

 

La masa total de una superficie S cuando su densidad de masa (por unidad de área) esta dada por una función m(x, y, z) es:

 

 

 

 

Ejemplo 1:

Calcule la masa total de la superficie S representada parametricamente por:

 

S (u , v) = (u , v, uv2)

 

 cuando su densidad de masa (por unidad de área) esta dada por la función:

 

m(x, y, z) = xy2

 

Solución:

 

1.- Estableceremos m(S(u,v)), esto es:

 

 

Como:

…. x = u

…. y = v

…. z = uv

 

tenemos que:

 

m(S(u,v)) = u v2

 

2.- Calculemos las coordenadas del vector normal a través de sus jacobianos:

 

 

 

 

por lo que las coordenadas del vector normal son:

 

…   n = (-v , -u, 1)

 

3.- Calculemos la magnitud del vector normal:

 

 

4.- Calculemos la doble integral:

 

> with (student):

>

> Doubleint((u*v^2*sqrt(v^2+u^2+1),u=0..2,v=0..2));

 

 

> evalf(Doubleint((u*v^2*sqrt(v^2+u^2+1),u=0..2,v=0..2)));

 

Por lo que la masa total de la superficie es: