Lección 5.2

Integral de superficie de un campo vectorial

 

 

En esta lección definiremos el concepto de flujo de un campo vectorial.

Imaginemos el siguiente campo vectorial, dado por una ecuación F(x). Supongamos además que el campo vectorial representa las velocidades en un fluido (ver Figura 1)

Figura 1

Imaginemos adicionalmente que colocamos una superficie orientada arbitrariamente (ver Figura 2) y nos preguntamos por la cantidad de fluido que la atravesaría en un tiempo t.

Figura 2

Está claro que la cantidad depende de la orientación de la superficie; si la superficie está orientada de forma paralela al campo, ni una sola gota de fluido podría atravesarla. En cambio, si la orientación es perpendicular al flujo, éste será máximo:

 

 

 

Flujo cero

 

 

 

Nivel de flujo intermedio

 

 

 

Nivel de flujo máximo por unidad de tiempo

Sea )S el área de una pequeña porción de S sobre la cual F es prácticamente constante. En tales circunstancias, la cantidad de flujo que atraviesa esa región por unidad de tiempo puede aproximarse por el volumen de la columna F A n  (ver Figura 3).

 

Figura 3

Esto es:

)V = (altura) (área de la base) = (F A n)  )S

En consecuencia, el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo (lo que se conoce como el flujo de F a través de S) viene dado por la integral de superficie de la siguiente función:

Definición: La integral de superficie de un campo vectorial.

Sea F un campo vectorial definido sobre S, la imagen de una superficie parametrizada S. La integral de superficie F sobre S es:

 

Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente normal de F. Si D(x, y, z) es la densidad del fluido en (x, y, z) la integral de flujo:

representa la masa del fluido que atraviesa S por unidad de tiempo.

Ejemplo1.-

Sea S la porción del paraboloide:

situada por encima del plano x y, orientada por un vector normal unitario dirigido hacia arriba (ver Figura 4) para -1 # u # 1 , -1 # v # 1.

El flujo de un fluido de densidad constante D a través de la superficie S viene descrito por el campo vectorial (ver Figura 5):

F (x, y, z) = (x , y, z)

Hallar el ritmo de flujo de masa a través de S (ver Figura 6).

Figura 4:- Paraboloide orientado por un vector normal unitario dirigido hacia arriba.

 

Figura 5.- campo vectorial F (x, y, z) = (x , y, z)

Figura 6.- El flujo de un fluido de densidad constante D a través de la superficie S descrito por el campo vectorial F

Solución:

Para empezar calculemos las coordenadas del vector normal a través de sus jacobianos:

 

 

 

 

por lo que las coordenadas del vector normal son:

 

  n = (2u , 2v, 1)

Ahora expresemos en términos de u y v el campo vectorial:

F = (u, v, 4 - u2 – v2)

Calculemos el producto escalar F A n, esto es:

F A  n = (u, v, 4 - u2 – v2)A (2u , 2v, 1) = 2u2 + 2v2 + 4 - u2 – v2 = u2 + v2+4

Calculemos

esto es:

> with (student):

> Doubleint((u^2+v^2+4)/sqrt(4*u^2+4*v^2+1),u=-2..2,v=-2..2);

 

 

>  evalf(Doubleint((u^2+v^2+4)/sqrt(4*u^2+4*v^2+1),u=-2..2,v=-2..2));

 

 

Por lo que el ritmo de flujo de masa a través de S es aproximadamente:

34.209 D