SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES.

 

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden representar y resolver por medio de matrices.

 

 

Un sistema de  m  ecuaciones lineales, en las incógnitas  

 

                                  (1)

 

 

se representa por medio de la ecuación matricial

 

                                                            (2)

 

en donde A  es la matriz de coeficientes  del sistema     

 

  

 

y

 

      y     

 

 

son vectores.

 

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan se representa el sistema por medio de la matriz ampliada del sistema

 

                              (3)

 

que consta de dos partes;  a la izquierda de la raya vertical está la matriz de coeficientes y a la derecha están los términos independientes.

 

 

 

Ejemplo 1.

 

El sistema

 

 

se  puede representar en la forma 

 

En donde

 

 

es la matriz de coeficientes, y 

 

 y  

 

son los vectores. La matriz ampliada del sistema es

 

.

 

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales representado por su matriz ampliada, se utilizan las llamadas operaciones elementales con renglones.

 

 

1) Permutar el orden de los renglones i  y  j.  Que representaremos  Pij

 

2) Multiplicar el renglón i por una constante  c.   Que representaremos   cRi

 

3) Al renglón i sumarle un múltiplo del renglón j.   Que representaremos  Ri+cRj

 

 

 

Al aplicar las operaciones elementales sobre renglones a la matriz ampliada vamos obteniendo nuevas matrices ampliadas que representan sistemas de ecuaciones equivalentes  al sistema inicial, hasta obtener una matriz ampliada que corresponde a un sistema equivalente cuya solución sea evidente por inspección.

 

Para lograr esto, la matriz ampliada se lleva a su forma escalonada reducida por renglones (ferr).

 

Recuerde que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando comparten las mismas soluciones.

 

 

¿Cuándo  una matriz se encuentra en la  ferr?

 

Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida cuando cumple las siguientes condiciones:

 

 

i) El primer elemento de un renglón que no consta de puros ceros es un uno.

 

ii) Si dos renglones sucesivos no constan de puros ceros, el primer uno en el renglón inferior está mas a la derecha del primer uno del renglón superior.

 

iii) Si un renglón consta de puros ceros está en la parte inferior de la matriz.

 

iv) Todas las columnas que contienen el primer uno de un renglón tienen puros ceros en las demás posiciones.

 

 

En resumen, el método de reducción de Gauss-Jordan consiste en aplicar, a la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, las operaciones elementales sobre renglones hasta llevarla a su ferr.  Una vez que la matriz aumentada se encuentra en la ferr se lee en ella la solución. 

 

Si el primer elemento distinto de cero de un renglón es un uno, lo llamamos el pivote de ese renglón, entonces podemos volver a expresar las condiciones anteriores diciendo:

 

 

i) Sin un renglón no consta de puros ceros entonces tiene un pivote.

 

ii) Si dos renglones sucesivos no constan de puros ceros, el pivote del renglón inferior está mas a la derecha del pivote del renglón superior.

 

iii) Si  un renglón consta de puros ceros está en la parte inferior de la matriz.

 

iv) Todas las columnas que contienen el pivote de un renglón tienen puros ceros en las demás posiciones.

 

 

 

Ejemplo 1.

 

 

  está en la ferr  y le corresponde la solución

 

 

Observe que cuando todas las columnas de la matriz de coeficientes tienen pivote la solución del sistema es única.

 

Ejemplo 2.

 

 

está en la ferr y le corresponde la solución

 

 

Observe que la columna de la matriz de coeficientes que no tiene pivote corresponde a una variable libre; el sistema tiene una infinidad de soluciones.

 

 

Ejemplo 4.

 

El sistema

 

 tiene la matriz ampliada 

 

 

Para llevarla a su ferr le aplicamos las operaciones elementales de renglones que nos permitan hacer cero los coeficientes  en los renglones 2  y 3  de la primera columna; estas operaciones las expresamos a la derecha de la matriz, en los renglones a transformar.

 

 

 

Haciendo las operaciones indicadas obtenemos la matriz equivalente

 

 

Multiplicamos el segundo renglón por la constante   para obtener un coeficiente 1 en el segundo renglón de la segunda columna como se indica, para obtener la matriz equivalente

 

 

Ahora nos interesa tener ceros en los renglones  1  y  3   de la segunda columna, aplicamos las operaciones indicadas

 

 

Multiplicando el tercer renglón por    hacemos   1  el coeficiente en el tercer renglón de la tercera columna. Finalmente hacemos ceros los coeficientes en los renglones 1 y 2 de la tercera columna como se indica

 

 

Esta última es la ferr de la ecuación ampliada inicial y es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales. La solución

 

 

es única, y por lo tanto el sistema es consistente determinado. El lector puede verificar que la tercia  (3, 4, 7)  es la solución del sistema sustituyendo estos valores en las tres ecuaciones del sistema inicial.

                                                                                                                    

Ejemplo 5.

 

Resuelva el sistema de ecuaciones lineales

 

 

La matriz ampliada del sistema es

 

 

Para llevar esta matriz a su ferr efectuamos las operaciones que se indican a continuación

 

 

 

 

 

Esta última matriz es la  ferr de la matriz ampliada inicial y es a su vez la matriz ampliada de un sistema equivalente al sistema inicial,  lo que significa que tienen las mismas soluciones.   El sistema equivalente se puede escribir

 

 

y finalmente expresamos  la solución del sistema como un conjunto de tercias ordenadas o vectores de tres componentes

 

 

en donde  x3   puede tener cualquier valor, por lo que se dice que  x3 es una variable libre.

  

Por ejemplo si  x3 = 1  tenemos la solución    y si   x3 = 0  tenemos la solución  .

 

Es decir, el sistema tiene una infinidad de soluciones y por lo tan tanto es un sistema consistente  indeterminado.

 

 

Ejemplo 6.

 

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales

 

 

Escribimos la matriz ampliada del sistema y le aplicamos las operaciones elementales sobre renglones para llevarla a su  ferr.

 

 

 

 

Esta última es la ferr de la matriz ampliada y es también la matriz ampliada del siguiente sistema equivalente

 

 

Que contiene una contradicción, por lo que  concluimos que el sistema no tiene solución, y por lo tanto es un sistema inconsistente.

 

                                                              

Sistemas homogéneos.

 

 

Un sistema de  m  ecuaciones lineales con n incógnitas es homogéneo si los términos  independientes de todas sus ecuaciones son cero.  La forma general de un sistema homogéneo es

 

 

Un sistema homogéneo siempre es consistente pues tiene al menos la solución trivial o solución nula  x1 = x2 = . . . = xn = 0,   pero puede tener además otras soluciones; para resolver los sistemas homogéneos también se emplea el método de Gauss-Jordan.

 

 

 

Ejemplo 7.

 

Resolver el sistema homogéneo

      

 

La matriz ampliada es

 

 

y llevamos la matriz a su ferr por medio de operaciones elementales de renglones

 

 

 

 

La única solución del sistema es la solución trivial   x1 = x2 = x3 = 0.

 

 

Ejemplo 8.

 

Resolver el siguiente sistema homogéneo de 4 ecuaciones con 3 incógnitas

 

 

Su matriz ampliada se reduce por el método de Gauss-Jordan a su ferr, como se indica.

 

 

 

La última matriz está en la ferr y corresponde al sistema equivalente

 

 

Como la tercera columna de la matriz reducida  no contiene pivote  x3  es una variable libre.   El conjunto solución puede escribirse:

 

 

pero como  x3  puede tomar cualquier valor, se puede sustituir por un parámetro y escribir

 

 

 

Ejemplo 9.

 

Resuelva el sistema homogéneo siguiente, que contiene más incógnitas que ecuaciones.

          

 

Reducimos su matriz ampliada a la ferr

 

 

 

 

La última matriz está en la ferr  y su tercera columna no contiene pivote, esto implica que x3 es variable libre y el conjunto solución se puede escribir:

 

 

Sustituyendo  x3  por un parámetro, se puede rescribir, de manera más general

 

 

Un resultado importante es que todo sistema lineal homogéneo que contiene más variables (incógnitas) que ecuaciones tiene una infinidad de soluciones.

 

 

Relación entre sistemas homogéneos y no homogéneos.

 

 

Hemos visto que un sistema lineal de ecuaciones no homogéneo se puede representar matricialmente en la forma

 

                                              (1)

 

en donde  A  es la matriz de coeficientes del sistema          

 

 

y   

 

      y     

 

  

son vectores.

 

El sistema homogéneo asociado al sistema no homogéneo  (1) es

 

                                               (2)

 

en donde 

 

es el vector cero de  m  componentes.

 

Si      y      son soluciones del sistema no homogéneo (1), entonces su diferencia     es solución del sistema homogéneo asociado  (2)  como se muestra a continuación:

 

 

En donde se usó la ley distributiva en la primera igualdad.

 

De este modo si     es una solución particular del sistema  no homogéneo  (1)   y   es otra solución del mismo sistema, entonces existe una solución    del sistema homogéneo (2)   y    .

 

La última ecuación se puede rescribir

                               

 

y es la representación simbólica del siguiente resultado;  La solución general    de un sistema no homogéneo (1)  es igual a la suma de una solución particular    del mismo mas todas las soluciones      del sistema homogéneo asociado  (2).

 

 

 

Ejemplo 10.

 

Encontrar la solución general del siguiente sistema no homogéneo y escribirla como la suma de una solución particular del mismo más todas las soluciones del sistema homogéneo asociado.

 

 

Se parte de la matriz ampliada del sistema y se reduce a su ferr

 

 

 

 

El sistema de ecuaciones equivalente que corresponde a la matriz reducida es

 

 

de modo que las soluciones se pueden escribir

 

 

Note que  x3  es variable libre y por tanto 

 

 

representa a todas las soluciones del sistema homogéneo asociado.   Cuando   x3 = 0  la solución del sistema  es  la solución particular      pero si   x3 = 3  la solución es   .