PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

 

Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.

En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.

 

Propiedad 1.

 

 

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

 

 

 

Ejemplo 1.

 

            Sea 

 

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

 

                     

 

Propiedad 2.

 

 

El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.

 

 

 Esto es

                                                

 

Ejemplo 2.

 

                      Sea       

 

La transpuesta de A  es          

 

 

Propiedad 3.

 

 

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.

 

 

Ejemplo 3.

 

Sea            con      

 

Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda

 

           con     

 

Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.

 

Propiedad 4.

 

 

Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.           

 

 

 

Ejemplo 4.

 

Sea           entonces 

 

 

Propiedad 5.

 

 

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.

 

 

 

Ejemplo 5.

 

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 

 

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente

 

                                                

 

cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     

 

      

 

Propiedad 6.

 

 

Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A,  entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.

 

 

 

Ejemplo 6.

 

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 

 

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

  

                     

 

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene

 

       

 

 

Propiedad 7.

 

 

Si  A  y  B  son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.

 

 

Esto es

                                              

 

Ejemplo 7.

 

Sean           y           

 

con       y     

 

 El producto     

 

Y su determinante  es    

 

Entonces     .

 

Propiedad 8.

 

 

El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)

 

 

Ejemplo 8.

 

I =                   det I = (1)(1) – (0)(0) = 1

 

Propiedad  9.

 

 

El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)

 

 

Ejemplo 9.

J =           |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0

 

Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.

 

 

Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto orden.

 

Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar.  Si se reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.  Al hacerlo hay que tomar en cuenta las propiedades 3,  5  y  6,  como en el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo 10.

 

Calcular el determinante de la matriz  A  de 

 

                 

 

Simplificamos el cálculo del determinante de A  reduciendo por renglones

 

      

 

Entonces, la permutación P14  cambia el signo de  det A , las operaciones    y      no  cambian el valor del determinante.

De esta forma

                         

 

Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón: