REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.

 

 

Si  T  es una  función  de    en      definida  por    en donde   A  es una matriz de , y dado que  la condición    corresponde  a la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices      y la condición    es también una propiedad de la multiplicación de matrices   .   Entonces  T es una transformación lineal.   Y se puede concluir que:

 

   

Toda matriz  A de    define una transformación lineal de    en    .

Ahora consideremos  una transformación lineal  T  de   en    ; si aplicamos esta transformación a los vectores base de  , obtenemos los  siguientes vectores:

                                   

 

 

 

Si construimos una matriz   AT  cuyas columnas sean los vectores   ;   AT   define una transformación lineal de   en         tal que  si

                                              para   i = 1, 2, . . . , n.

Entonces

                          

y por lo tanto     para   i = 1, 2, . . . , n.   Concluimos que  T  y la transformación  AT  ,   son la misma, porque tienen el mismo efecto sobre los vectores base.

AT   es la matriz cuyas  columnas son los vectores  .

 

La matriz  AT   se llama  matriz de transformación de  T   o  representación matricial de  T.

Si se usan bases diferentes, las matrices de transformación que se obtendrán serán diferentes.

 

Ejemplo 1.

 

Encuentre la representación matricial de la transformación lineal  T  de  en   definida por

                                  

Aplicamos  T  a los vectores base de :

              ,    ,    ,    

 

Entonces la matriz  AT   es

                                    .

 

 

Ejemplo  2.

 

En el ejemplo 1 se utilizó la base canónica para construir la matriz de representación de la transformación lineal

ahora se utilizará la base .

 

,    ,    ,   

 

Entonces la nueva matriz de transformación queda:

 

 

Ejemplo  3.

 

Encuentre la representación matricial  AT  de la transformación lineal   T  definida por       

                                         

Aplicamos   T   a los vectores base  de  :

               

Entonces  la matriz   de transformación   es             

 

 

Ejemplo  4.

 

Encuentre la representación matricial  AT  de la transformación lineal   T   definida  por  

                                            

Aplicamos la transformación a los vectores base  de 

                          

Entonces la matriz de transformación   es     .