RANGO Y NULIDAD.

 

Los subespacios pueden ser utilizados para describir las características de una matriz A de m x n.  Existen dos subespacios importantes que se pueden asociar con la matriz A: el espacio nulo (kernel o núcleo) y el rango (o imagen).

 

 

 

El espacio nulo de una matriz se puede definir como

 

 

Esto es, es el conjunto de todas las soluciones del sistema .

 

Estos conceptos también se aplican para las transformaciones lineales.  Sea una transformación lineal T tal que .  El espacio nulo se define como

 

.

 

Se le denomina nulidad, , a la dimensión de N.  Se le representa como .

 

 

 

El otro subespacio mencionado es la  imagen de una matriz.  Este se define como

 

.

 

La imagen de una transformación lineal está dada por

 

.

 

 

 

 

Con la matriz A de  se puede formar un espacio renglón   RA  ,  considerando como vectores a los renglones de la matriz A.  El subespacio generado es de . 

 

Por otra parte, se puede formar un espacio columna   CA , considerando como vectores a las columnas de la matriz A.  Estos vectores generan un subespacio en .

 

La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A recibe el nombre de rango de A ,  .

 

Se le representa como .

 

 

 

Ejemplo 1.

 

 

Sea la matriz

 

 

que define una transformación lineal  y así .  El espacio nulo constará de todos los vectores  que cumplan con la condición . Esto quiere decir que

 

 

Esto define un sistema de ecuaciones lineales que tienen las siguientes soluciones

 

.

 

El espacio nulo es el conjunto de estos vectores:

 

 

Este es un subespacio unidimensional de .

 

Para encontrar el rango se analiza el espacio columna de la matriz.  El espacio columna está formado por los vectores ,   y  .

 

Se genera una matriz en la que los renglones son los vectores columna de la matriz A,  esto es  AT

 

y se lleva a su forma escalonada

 

 

Entonces, los vectores  y  generan el rango de T.  Los vectores que forman el rango se pueden representar parametricamente como  y, por lo tanto, este es un subespacio bidimensional de .